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Berechnung des Aufzugsbalancekoeffizienten basierend auf der Aitken-Interpolation

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(a) Polygon-Methode
von Huang Shaolun, Luo Zhiqun, Dai Qingyou und Wan Jianru

Der Bilanzkoeffizient ist ein wichtiger Parameter für die Planung, Ausführung und Prüfung von Traktionsaufzügen. Sie wird traditionell durch das Zeichnen von „Last – Strom“-Prüfdatenkurven in der Skizzen- oder Polygonmethode veranschaulicht, die beide unweigerlich zu Ungenauigkeiten in ihren numerischen Ergebnissen führen. Um dieses Problem zu lösen, propagiert dieser Artikel ein Verfahren mit hoher Genauigkeit im Ansatz der Aitken-Interpolation. Um unnötigen Speicherplatz zu reduzieren, wird zusätzlich die Kompressionsspeichertechnik beim Interpolationsprozess im Detail analysiert. Schließlich wird die Methode erfolgreich auf der MATLAB-GUI-Plattform verifiziert, und der Vergleich mit verschiedenen Methoden zeigt, dass sie in Bezug auf Genauigkeit und Zuverlässigkeit effektiv ist.

Einführung

Der Gleichgewichtskoeffizient ist ein entscheidender Parameter für Treibscheibenaufzüge, insbesondere bei der Aufzugskonstruktion. Der richtige Bereich des Gleichgewichtskoeffizienten von 0.40 bis 0.50 ist effektiver, um das Gewicht einer Aufzugskabine (entweder beladen oder unbeladen) und ihres Gegengewichts auszubalancieren. Ein geeigneter Bilanzkoeffizient kann den Aufzug komfortabler, sicherer und energiesparender machen. Bei der Inspektion eines Traktionsaufzugs wird dieser wichtige Parameter berechnet, indem die Laststromdaten für die Aufwärtsfahrt und Abwärtsfahrt grafisch dargestellt werden. In der Praxis ist es jedoch aufgrund der Subjektivität schwierig, das Ergebnis mit geringem Fehler immer zu garantieren. Die Polygonmethode ist eine andere Möglichkeit, dieses Problem zu lösen, aber ihre Genauigkeit ist bei weitem nicht zufriedenstellend.

Zhou[1] präsentierte eine quadratische Regressionskurvenlösung, die jedoch schlecht abschneidet, da die Kurve nicht alle Inspektionsdatenpunkte durchläuft. Folglich nimmt der Fehler des Gleichgewichtskoeffizienten zu. Chang[2] präsentierte eine andere Methode mit der Newtonschen Interpolation. Es berücksichtigt jedoch nicht das „Runge-Phänomen“, das bei der Polynominterpolation höherer Ordnung zu Kurvenverzerrungen führen kann. Daher ist es in jedem Fall schwierig, ein genaues und zuverlässiges Ergebnis zu erhalten.

Lösung für Inspektionsdatenkurven basierend auf der Interpolation von Aitken

Gemäß der am 7001. April 2009 in die Praxis umgesetzten Verordnung für die Aufsichtsinspektion und periodische Inspektion von Aufzügen – Traktion und positiver Antrieb (TSG T1-2010) von China hat sich die Inspektion des Gleichgewichtskoeffizienten geändert. Es wird empfohlen, den Gleichgewichtskoeffizienten im Bereich von 0.40 bis 0.50 zu gestalten oder die besonderen Anforderungen zu erfüllen. Da die Kabine 0 %, 25 %, 40 %, 50 %, 75 %, 100 % und 110 % ihrer Nennlast separat trägt, sollte der zugehörige Motorstrom aufgezeichnet werden, wenn die Kabine auf dem gleichen Niveau wie das Gegengewicht läuft. Dann können die Laststrom-Aufwärts- und Abwärtsfahrt-Prüfdatenkurven gezeichnet werden. Sie haben einen eindeutigen Kreuzungspunkt zur Berechnung des Bilanzkoeffizientenwertes.

Es gibt zwei Sätze (Aufwärts- und Abwärtsfahrt) von Inspektionsdaten, die jeweils aus sieben Datenpaaren bestehen. Ein zuverlässiger Weg, die Berechnung der Bilanzkoeffizientengenauigkeit zu verbessern, besteht darin, einen wissenschaftlichen Ansatz bei der Erzeugung von Kurven zu suchen. Daher wird ein neues Verfahren der Aitken-Interpolation eingeführt, um dieses Problem zu lösen.

Aitkens Interpolationsschema

Das Problem der Aitkenschen Interpolation wird üblicherweise in folgender Form formuliert: Finde das Polynom L(x) = Ln(x) eines Grades nicht höher als n, dessen Werte an den Punkten xi (i = 0, 1, 2, . .., n) mit den Werten der gegebenen Funktion übereinstimmen; dh L(xi) = yi, wobei xi die prozentuale Last darstellt und yi den Motorstrom darstellt. Geometrisch bedeutet dies, dass man eine algebraische Kurve der Form Ln(x) = y = a0xn + a1xn ​​– 1 + finden muss. . . + an die durch die gegebene Menge von Stützpunkten M . gehti (xi, yi) (i = 0, 1, . . ., n).

xi und xi . nutzen + 1 als Stützpunkte können wir hier das Linearinterpolationspolynom Li liefern, ich + 1(x) mit zwei Anfangspunkten: 

Berechnung-der-Aufzug-Balance-Formel-1
(Formel 1)

Betrachten wir außerdem Li, i + 1(x) und Li + 1, i + 2(x) als zwei neue Interpolationspunkte, können wir das quadratische Interpolationspolynom erhalten, das heißt, unter Verwendung der Punkte xi, xi + 1 und xi + 2:

Berechnung-der-Aufzug-Balance-Formel-2
(Formel 2)

Daher ist eine allgemeine Polynomform L0, 1, . . ., n(x) vom Grad n von Stützpunkten (x0, y0) nach (xn, yn) mit allen n + 1 Stützpunkten durchlaufend, lässt sich als rekursive Formel darstellen:

Berechnung-der-Aufzug-Balance-Formel-3
(Formel 3)

Dies ist das mathematische Schema der Aitken-Interpolation. Formel 3 (die rekursive Formel) erlaubt es, jedes Polynom aus genau zwei Polynomen um eins niedrigeren Grades abzuleiten, was es hilfreich macht, nacheinander zu rechnen. Diese rekursive Formel zeigt an, dass die Interpolation von Aitken genauso effizient ist wie die Interpolation von Newton bei der Vererbung.

Speicherkomprimierung für den Interpolationsprozess

Um die Rechenarbeit zu vereinfachen, werden die obigen Ergebnisse normalerweise tabellarisch dargestellt. Zur Berechnung von L…(x) ist es zweckmäßig, die Anordnung der Interpolationspolynome in Abbildung 1 zu verwenden. Das unterstrichene auf der Hauptdiagonalen ist das Ergebnis des n-ten Polynoms im n-ten Schritt.

In der Interpolationstabelle von Aitken werden die Polynome in jedem Schritt als eine untere Dreiecksmatrix konstruiert, die immer als zweidimensionales Array im Speicher gespeichert wird. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass bei der Berechnung eines Elements in dieser Matrix es sich nur auf zwei Elemente bezieht – eines befindet sich in der oberen linken Ecke und das andere auf der linken Seite. Mit anderen Worten, alle Elemente sind wegwerfbar, außer denen, die in einer diagonalen Linie bleiben. Daher ist es ratsam, im Zuge der Aitken-Berechnung technologisch eindimensionales Array zur Speicherkomprimierung zu verwenden. Der Skill ist in Abbildung 2 dargestellt, wo die in roten Feldern markierten Elemente in jedem Schritt aktualisiert werden.

Die Schritte der Speicherkomprimierung bei der Berechnung sind:

  1. Initiiere Schrittzähler I = 1. Berechne die erste Zeile in Matrix L, dann speichere die Ergebnisse in einem Array y_temp einer Dimension.
  2. Unter Verwendung von i-ten und j-ten (j = i + 1, . . ., n) Elementen in y_temp wird eine Interpolation nach Formel 1 durchgeführt, um ein neues Ergebnis zu berechnen, das dann die Position des j-ten Elements abdeckt. Wenn beispielsweise i = 1 ist, interpolieren Sie mit L01(x) und L12(x) für das beabsichtigte Polynom L012(x) und aktualisieren Sie dieses Ergebnis im 2. Element des Arrays y_temp (hier j = i + 1 = 2) . Als nächstes berechne und aktualisiere nacheinander die verbleibenden Elemente L123(x). . . Ln – 2, n – 1, n(x) in diesem Schritt.
  3. Aktualisieren Sie i = i + 1 und wiederholen Sie Schritt 2, bis das endgültige Polynom L0, 1, . . . , n(x).

Aufzugsdatenkurven basierend auf Aitkens Interpolation

Gemäß der neuen Anforderung des TSG T7001-2009 wird entweder die Aufwärts- oder Abwärts-Auslösekurve streng an Laststrom-Datenpunkten überprüft. Diese Punkte sind auch Aitken-Interpolationspunkte. Wenn diese sieben Punktpaare zur direkten Interpolation verwendet werden, kann ein Problem auftreten: Es kann schwierig sein, Interpolationspolynome höherer Ordnung (bis zur sechsten Ordnung) in der Lösung zu vermeiden. In einigen Fällen treten „Runge-Phänomene“ auf. Eine unerwünschte Schwingung erhöht den Rechenfehler und beeinträchtigt die Recheninstabilitäten. Weder die Interpolation von Aitken noch von Newton ist eine Ausnahme.

Unter sorgfältiger Berücksichtigung der tatsächlichen Inspektion ist es ratsam, drei Kurven in der Segmentierung zu implementieren, die der Aitken-Interpolation für drei Datengruppen entsprechen: x0, x1, x2; x2, x3, x4; und x4, x5, x7. Diese technische Verbesserung verhindert nicht nur, dass die endgültigen Interpolationskurven Runge-Phänomene erfahren, sondern glättet auch die gesamte Kurve, da ihre höchste Polynomordnung nur x2 beträgt.

Software-Design

Um die Wirksamkeit der vorgeschlagenen Methode zu überprüfen, wurde die MATLAB-GUI zur Programmierung eingeführt und mehrere wichtige Funktionen entworfen, wie die Funktionen „Aitkens Interpolation mit Speicherkompression“, „Balancekoeffizientenberechnung“ usw. Der Softwarefluss ist in Abbildung 3 gezeigt.

Aitkens Interpolation mit Speicherkomprimierung

Diese Funktion ist der Hauptteil der Aitken-Interpolation mit der Implementierung der Speicherkomprimierung. Nach einem Funktionsaufruf gibt es einen Ausdruck f seines Interpolationspolynoms sowie die entsprechenden Polynomkoeffizienten a und den Funktionswert y0 (falls eingegeben) am Stützpunkt x . zurück0.

Funktion [f, a, y0] = interpolation_aitken (x, y, x0)

Syms t; syms n;

. . ., . . .

y_temp (1:n) = t;

für(i = 1:n – 1)

für(j = i + 1:n)

y_temp(j) = y(j)*(t – x(i))/(x(j) – x(i)) + y(i)*(t – x(j))/(x(i) –
x(j)); Ende;

y = y_temp;

vereinfachen(y_temp); Ende;

vereinfachen(y_temp(n));

f = sammeln (y_temp(n));

f = vpa(f, 5);

if(nargin==3)

y0 = subs(y_temp(n),'t',x0);

Faktoren = sym2poly(f); anders;

Faktoren(1:n) = y_temp(1:n);

Faktoren = sym2poly(f); Ende

Interpolationsfunktion von Aitken

Gemäß der Analyse in „Elevator Data Curves Based on Aitken's Interpolation“ sollten alle Inspektionsdatenpunkte in die drei Gruppen x(1:3), x(3:5) und x(5:7) unterteilt werden, um die Interpolation auszuführen unabhängig:

[f_up1, a_up1]=interpolation_aitken(x(1:3), y1(1:3));

[f_up2, a_up2]=interpolation_aitken(x(3:5), y1(3:5));

[f_up3, a_up3]=interpolation_aitken(x(5:7), y1(5:7));

[f_dowm1, a_dowm1]=interpolation_aitken(x(1:3), y2(1:3));

[f_dowm2, a_dowm2]=interpolation_aitken(x(3:5), y2(3:5));

[f_dowm3, a_dowm3]=interpolation_aitken(x(5:7), y2(5:7));

Funktion zur Berechnung des Bilanzkoeffizienten

Der Saldokoeffizient ist der Kreuzungspunkt der Aufwärts- und Abwärtsfahrtdatenkurven. Er wird als „Balance-Koeffizient“ bezeichnet und kann berechnet werden, indem die Differenz zwischen diesen beiden Polynomen algebraisch ermittelt und der Schnittpunkt mit der horizontalen Achse gesucht wird.

flag_solve = 0;

a_delta1 = a_up1 – a_downm1; r1 = poly2sym(a_delta1);

. . . . . .

if(subs(r2, 'x', 40)*subs(r2, 'x', 75) < 0)

x0 = fnull(r2, [40 75]);

     flag_solve = '2';

elseif(subs(r3, 'x', 75)*subs(r3, 'x', 110) < 0)

     x0 = fnull(r3, [75 110]);

     flag_solve = '3';

elseif(subs(r1, 'x', 0)*subs(r1, 'x', 40)<0)

     x0 = fnull(r1, [0 40]);

     flag_solve = '1'; anders;

     flag_solve = 'ungelöst'; Ende;

if(flag_solve~='ungelöst')

     if(flag_solve=='1')

     [temp1, temp2, ja0] = interpolation_aitken(x(3:5), y1(1:3), x0); Ende;

     if(flag_solve=='2')

[temp1, temp2, ja0] = interpolation_aitken(x(3:5), y1(3:5), x0); Ende;

     if(flag_solve=='3')

[temp1, temp2, ja0] = interpolation_aitken(x(3:5), y1(5:7), x0); Ende;

. . . . . .

Ende

Anwendung

Software-Schnittstelle

Um die Machbarkeit dieser Methode zu überprüfen, wurde eine Software auf Basis von MATLAB GUI entwickelt. Seine Schnittstelle ist in Abbildung 4 dargestellt. Nach dem Aktualisieren der Inspektionsdaten „Prozentuale Last – Motorstrom“ gibt es den Balancekoeffizienten und den Ausdruck der Aufwärts- und Abwärtsfahrtdatenkurven aus.

Vergleich

Um den Vorteil der Aitken-Interpolation im Höhenruder-Balance-Koeffizienten zu verifizieren, wurden die Vergleiche mit dem gleichen Datensatz durchgeführt. Diagramme der Inspektionsdatenkurven sind in Abbildung 5 dargestellt.

Wenn wir uns Abbildung 5(a) ansehen, können wir leicht feststellen, dass die Kurve überhaupt nicht glänzend ist. Wenn wir uns Abbildung 5(b) ansehen, können wir die andere Enttäuschung finden – das Runge-Phänomen am Kurvenende. Dies zeigt sich auch in der vorherigen Analyse. Diese beiden Probleme verschlimmern sich, wenn der tatsächliche Bilanzkoeffizient vom Bereich 0.4 bis 0.5 abweicht, wodurch die Genauigkeit und Zuverlässigkeit der Prüfergebnisse verringert wird.

Wie in Fig. 5(c) gezeigt, sind die in Aitkens Interpolationsverfahren erzeugten Inspektionsdatenkurven nicht nur glänzend genug, sondern weisen auch kein Runge-Phänomen auf. Es bietet eine bessere Lösungsgenauigkeit.

Zusammenfassung

Der Gleichgewichtskoeffizient ist ein wichtiger Parameter für die Konstruktion, Implementierung und Inspektion von Treibwerksaufzügen. Dieses Papier stellt einen neuen Ansatz zum Zeichnen der Inspektionsdatenkurven vor, bei dem die Interpolation von Aitken angewendet wurde, was zu einer hohen Genauigkeit und Zuverlässigkeit führt. Die Speicherkompression bei der Berechnung wurde ebenfalls diskutiert. Die Methode wurde erfolgreich durch MATLAB-GUI-Programmierung realisiert, und die Vergleiche von Kurven mit verschiedenen Methoden zeigten, dass sie sowohl in Bezug auf Genauigkeit als auch Zuverlässigkeit effektiv war. Diese Software war für Inspektoren praktisch und verbesserte ihre Arbeitseffizienz.

Wissen

Diese Forschung wird von der General Administration of Quality Supervision Inspection and Quarantine of China – Nonprofit Industry Specialized Research Funding Projects (Projektnummer 201310153) unterstützt.

Referenzen
[1] Runjia Zhou, „Regressionsanalyse des Aufzugsbalancekoeffizienten“, Konstruktionsmechanisierung, 1989, p. 6.
[2] Zhenyuan Chang, „The Calculation of the Elevator Balance Coefficient with the Software“, China Elevator, 2012, p. 47-49.
[3] Cleve B. Moler, „Numerical Computing with MATLAB“, Society for Industrial & Applied Mathematics, USA
[4] D. Kahaner, C. Moler und S. Nash, „Numerical Methods and Software“, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1989.
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Huang Shaolun, Luo Zhiqun, Dai Qingyou und Wan Jianru

Huang Shaolun, Luo Zhiqun, Dai Qingyou und Wan Jianru

Huang Shaolun studierte Elektrotechnik an der Tianjin University in Tianjin, China, und erwarb 2011 seinen BE-Abschluss an der Southwest Jiaotong University in Chengdu, China. Seine Forschungsinteressen umfassen Energieumwandlung, Aufzugsmotorsteuerungen und Aufzugstechnologie.

Luo Zhiqun ist leitender Ingenieur des Guangdong Special Equipment Inspection and Testing Institute in Guangzhou, China, und verantwortlich für das National Elevator Quality Supervision and Inspection Center in Guangdong, China. Zhiqun ist auch Doktorand an der Tianjin University und sein besonderes Interesse gilt der Aufzugsinspektionstechnik und Leistungselektronik.

Dai Qingyou ist Ingenieur und Forscher am National Elevator Quality Supervision and Inspection Center in Guangdong, China, und sein Spezialgebiet ist Aufzugsinspektionstechnik und Leistungselektronik.

Wan Jianru ist Professor an der Tianjin University in Tianjin, China. Seine Interessengebiete sind Leistungselektronik, Aufzugstechnik und Aufzugsmotorsteuerungen. Jianru hat 40 technische Forschungsprojekte abgeschlossen, fast 100 Abschlussarbeiten veröffentlicht und acht chinesische Patente erhalten. Er konzentriert sich seit mehr als 30 Jahren auf die chinesische Aufzugsindustrie und deren Technik.

Aufzugswelt | März 2013 Titelbild

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