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Ableitung der Aufzugs-RTT unter Bedingungen des ankommenden Verkehrs und einer einzigen Einfahrt

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von Lutfi Al-Sharif, Hasan Algzawi und Ahmad Hammoudeh

RTT ist die Grundlage für die Auslegung von Aufzugsanlagen. Es gibt verschiedene Methoden (sowohl analytisch als auch numerisch), um sie zu berechnen. Wenn die Verkehrsbedingungen eines Gebäudes komplizierter werden, werden analytische Methoden unhandlich. Numerische Verfahren bieten eine attraktive Alternative zur Berechnung der RTT, also der Zeit, die der Aufzug für eine komplette Hin- und Rückfahrt benötigt, während der Fahrgäste vom Haupteingang abgeholt, zu ihren Zielen im Gebäude gebracht und zum Haupteingang zurückgefahren werden .

Die Verwendung der MCMC-Methode ist eine praktikable Alternative zur Monte-Carlo-Simulation, die verwendet wurde, um RTT zu finden. Dieser Artikel leitet die Formeln ab, die notwendig sind, um die Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix für den Aufzug während einer Hin- und Rückfahrt unter ankommenden Verkehrsbedingungen und einer einzelnen Einfahrt zu erstellen. Anschließend wird ein numerisches Beispiel bereitgestellt, das die praktische Anwendung der Methode zur Bewertung der RTT veranschaulicht.

Die Bewertung der RTT ist entscheidend für die Gestaltung von Aufzugsverkehrssystemen. Mit ihr lässt sich die erforderliche Anzahl von Aufzügen in einem Gebäude anhand quantitativer und qualitativer Nutzeranforderungen ermitteln.[1] Dies kann mit analytischen Gleichungs-basierten[2 & 3] oder numerischen Methoden erreicht werden.[4] Analytische Methoden sind in ihrem Anwendungsbereich eingeschränkt, da sie Fälle, in denen die Höchstgeschwindigkeit nicht in einer Stockwerkfahrt erreicht wird und die Stockwerkshöhen nicht gleich sind, nicht behandeln können, obwohl in diesem Bereich einige Arbeiten durchgeführt wurden.[5] Der Vorteil numerischer Verfahren besteht darin, dass sie auf alle Sonderfälle angewendet werden können, wie z. Die einzige numerische Methode, die derzeit zur Bewertung von RTT verwendet wird, ist die Monte-Carlo-Methode.[4]

Dieser Artikel stellt auch eine Methodik zur Ableitung der Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix vor. Eine Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Verwendung des MCMC-Verfahrens bei der Bewertung von RTT wird ebenfalls zusammen mit einem numerischen Beispiel für diese Bewertung präsentiert. Die hier vorgestellte MCMC-Methode ist auf den Fall eines Gebäudes mit einem einzigen Eingang beschränkt. Der Fall mehrerer Eingänge wird in „Evaluating the Elevator Round Trip Time for Multiple Entrances and Incoming Traffic Conditions using Markov Chain Monte Carlo“ von Lutfi Al-Sharif und Ahmad Hammoudeh (www.inderscience.com/info/ingeneral/forthcoming) ausführlich behandelt. php?jcode=ijise).

Die Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix

Um die MCMC-Methode zur Auswertung der Round-Trip-Time nutzen zu können, muss zunächst die Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix abgeleitet werden.[6] Jedes Element in der Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix bietet eine Chance, dass sich der Aufzug von Etage i zu einer Etage j bewegt, vorausgesetzt, dass sich der Aufzug derzeit auf Etage i befindet. Dies wird unten gezeigt:

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-1
(Gleichung 1)

Ein allgemeines Format für die Matrix ist in Tabelle 1 gezeigt. Es ist zu sehen, dass die Diagonale Null ist, da der Aufzug nicht auf derselben Etage bleiben kann. Da der Verkehr ankommt, kann sich der Verkehr nicht in eine Etage darunter bewegen, außer in das Erdgeschoss zurückzukehren. Das obere Dreieck der Matrix stellt die Wahrscheinlichkeiten dar, mit denen der Aufzug in ein oberes Stockwerk fährt. Die erste Spalte stellt die Wahrscheinlichkeit dar, ins Erdgeschoss zurückzukehren. Nimmt man den allgemeinen Ausdruck für jede Zelle und erweitert ihn, ergibt sich:

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-2
(Gleichung 2)

Somit ist die Übergangswahrscheinlichkeit von den Stockwerken i nach j gleich der Wahrscheinlichkeit, auf keinem Stockwerk zwischen diesen beiden anzuhalten, bei Stockwerk i anzuhalten, geteilt durch die Wahrscheinlichkeit, bei einer Hin- und Rückfahrt auf Stockwerk i anzuhalten. Es ist jedoch erwähnenswert, dass das Ereignis „Fahrt von Etage i nach j bei einer Hin- und Rückfahrt“ eine Teilmenge des Ereignisses „Halten auf Etage i bei einer Hin- und Rückfahrt“ ist, da per Definition eine Fahrt von i bis j zu erfolgen, muss der Aufzug zunächst im Stockwerk i halten. Dies wird gezeigt in:

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-3
(Gleichung 3)

Aber wenn ein Ereignis A eine Teilmenge eines anderen Ereignisses B ist, ist ihr Schnittpunkt Ereignis A. Die Wahrscheinlichkeit in Gleichung 2 kann also wie folgt vereinfacht werden:

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-4
(Gleichung 4)

Das Einsetzen von Gleichung 4 in Gleichung 2 ergibt das folgende wichtige Ergebnis:

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-5
(Gleichung 5)

Daher müssen die Werte in jeder Zeile durch die Wahrscheinlichkeit eines Stopps an einem Stockwerk geteilt werden. Das Erdgeschoss ist der einzige Eingang. Somit muss der Aufzug per Definition in diesem Stockwerk anhalten, um die Passagiere (P) aufzunehmen. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Aufzug bei einer Hin- und Rückfahrt in diesem Stockwerk anhält, 1:

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-6
(Gleichung 6)

Die erste Spalte in Tabelle 2 stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass ein bestimmtes Stockwerk das höchste Umkehrstockwerk bei einer Rundfahrt ist, vorausgesetzt, der Aufzug hielt in diesem Stockwerk. Dies wird unten gezeigt:

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-7
(Gleichung 7)

Dies ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass das i-te Stockwerk das höchste Umkehr-Floor und ein Stopp am i-ten Stockwerk ist, geteilt durch die Wahrscheinlichkeit, bei einer Rundfahrt am i-ten Stockwerk anzuhalten. Es ist jedoch erwähnenswert, dass das Ereignis „das i-te Stockwerk ist das höchste Umkehr-Etage“ eine Teilmenge des Ereignisses „Halten am i-ten Stockwerk bei einer Rundfahrt“ ist, da das i-te Stockwerk das höchste Umkehr-Etage ist Etage (per Definition) muss der Aufzug zunächst in der i-ten Etage halten. Dies wird unten gezeigt:

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-8
(Gleichung 8)

Aber wenn ein Ereignis A eine Teilmenge eines anderen Ereignisses B ist, ist ihr Schnittpunkt Ereignis A. Die Wahrscheinlichkeit in Gleichung 7 kann also vereinfacht werden, wie in Gleichung 9 gezeigt:

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-9
(Gleichung 9)

Das Einsetzen von Gleichung 9 in Gleichung 7 ergibt das wichtige Ergebnis:

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-10
(Gleichung 10)

Somit können die Elemente in der ersten Spalte abgeleitet werden, indem die Wahrscheinlichkeit geteilt wird, dass ein Floor das höchste Umkehr-Floor ist, geteilt durch die Wahrscheinlichkeit, auf diesem Floor anzuhalten. Die endgültige modifizierte Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix ist in Tabelle 2 dargestellt. Um die Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix abzuleiten, sind Formeln für die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse erforderlich:

  • Die Wahrscheinlichkeit einer Fahrt zwischen zwei Stockwerken ohne Halt in den Zwischenstockwerken zwischen
  • Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Floor das höchste Umkehr-Floor ist
  • Die Wahrscheinlichkeit, an einer Etage anzuhalten

Diese drei Formeln werden im nächsten Abschnitt abgeleitet.

Gleichungen

Es hat sich gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Fahrt zwischen zwei Stockwerken i und j (ohne Zwischenhalt auf einem Stockwerk dazwischen) stattfindet, bei einer Rundfahrt durch den folgenden Ausdruck in Gleichung 11 unten angegeben wird:[5]

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-11
(Gleichung 11)

Für den Sonderfall, in dem der Aufzug im Erdgeschoss startet (dh der einzelne Eingang), wird Gleichung 11 auf die folgende Sonderfallgleichung reduziert:[5]

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-12
(Gleichung 12)

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Aufzug während einer Hin- und Rückfahrt auf einer Etage i hält, hängt von der Bevölkerung in dieser Etage und der Anzahl der Passagiere ab, die in die Kabine einsteigen, wie unten gezeigt:[5]

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-13
(Gleichung 13)

Das Erdgeschoss ist der einzige Eingang. Somit muss der Aufzug per Definition in diesem Stockwerk anhalten, um Passagiere (P) aufzunehmen. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass der Aufzug bei einer Hin- und Rückfahrt in diesem Stockwerk anhält, 1.

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-14
(Gleichung 14)

Wie in der Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix (für eine Einzeleintrittsanordnung) zu sehen ist, stellt die erste Spalte die Wahrscheinlichkeit dar, dass ein bestimmtes Stockwerk das höchste Umkehrstockwerk ist, vorausgesetzt, dass auf diesem Stockwerk während einer Hin- und Rückfahrt ein Stopp stattgefunden hat. Die Formel für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Floor das höchste Umkehr-Floor ist, ist unten dargestellt:[5]

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-15
(Gleichung 15)

Es ist auch notwendig, die Fahrzeit zwischen den Stockwerken zu berechnen. Diese Zeit zwischen zwei beliebigen Stockwerken i und j, getrennt durch eine Distanz (d), mit einer Nenngeschwindigkeit von v, können Nennbeschleunigung (a) und Nennruck (j) berechnet werden, wie in den Gleichungen 16-18 für die drei verschiedenen Bedingungen gezeigt (Nenngeschwindigkeit erreicht, Nenngeschwindigkeit nicht erreicht, aber Nennbeschleunigung erreicht bzw. Nenngeschwindigkeit nicht erreicht bzw. Nennbeschleunigung nicht erreicht):[7]

Erreichte Nenngeschwindigkeit: wenn:  

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-16
(Gleichung 16)

Nenngeschwindigkeit nicht erreicht aber Nennbeschleunigung erreicht: wenn , dann

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-17
(Gleichung 17)

Weder Nenngeschwindigkeit noch Nennbeschleunigung erreicht:

wenn, dann

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-18
(Gleichung 18)

Dies erzeugt eine zweidimensionale Matrix, die die Zeit anzeigt, die benötigt wird, um zwischen den Stockwerken i und j zu reisen. Eine Darstellung einer solchen Matrix ist in Tabelle 3 gezeigt. Wie zu sehen ist, ist die Diagonale Null, da keine Zeit benötigt wird, um zum gleichen Stockwerk zu gelangen. Es ist auch zu erkennen, dass das obere Dreieck der Matrix über der Diagonalen ein Spiegelbild des unteren Dreiecks unter der Diagonalen ist.

Berechnung der RTT

Im Folgenden finden Sie eine Übersicht über die Schritte zur Durchführung einer RTT-Bewertung mit der Markov-Chain-Monte-Carlo-Methode:

  1. Entwickeln Sie die Kinematikmatrix.
  2. Entwickeln Sie die Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix.
  3. Extrahieren Sie die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) für jedes Stockwerk des Gebäudes aus der entsprechenden Zeile in der Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix.
  4. Konvertieren Sie jedes in Schritt 3 erhaltene PDF in eine kumulative Verteilungsfunktion (CDF).
  5. Angenommen, die Startposition für den Aufzug ist der Haupteingang (Etage G oder 0), ziehen Sie eine Zufallsstichprobe aus der CDF, die aus der ersten Zeile der Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix erstellt wurde. Dadurch wird das nächste Ziel des Aufzugs angezeigt.
  6. Verwenden Sie die Zeile, die dem nächsten Ziel entspricht, und verwenden Sie die CDF dieser Zeile, um das nächste Ziel zu generieren.
  7. Wiederholen Sie Schritt 6, bis der Aufzug ins Erdgeschoss zurückkehrt. Dies bildet eine komplette Rundreise.
  8. Berechnen Sie mit Hilfe der in Schritt 1 entwickelten Kinematikmatrix die Fahrzeitkomponente der Hin- und Rückfahrt.
  9. Berechnen Sie die Türzeitkomponente der Hin- und Rückfahrt auf der Grundlage der in Schritt 7 ermittelten Anzahl von Haltestellen der Fahrt.
  10. Berechnen Sie basierend auf der Anzahl der Fahrgäste, für die die Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix entwickelt wurde, die Fahrgastübergangskomponente der Hin- und Rückfahrt.
  11. Der Roundtrip ist die Summe der drei Terme in den Schritten 8, 9 und 10.
  12. Wiederholen Sie die Schritte 5-11 in einer bestimmten Anzahl von Versuchen (z. B. 10,000), nehmen Sie dann den Durchschnitt aller Versuche, um so die RTT zu erhalten.

Numerisches Beispiel

Ein Gebäude hat fünf Stockwerke (N) über dem Haupteingang (Erdgeschoss). Die Aufzugskabine füllt sich mit sechs Passagieren; also P = 6 im Erdgeschoss. Das Gebäude hat die gleiche Geschosshöhe: df = 4.5 m. Die Türöffnungszeit (tdo) beträgt 2 s und die Türschließzeit (tdc) beträgt 3 s. Die Fahrgasttransferzeit in den Aufzug (tpi) beträgt 1.2 s.; um den Aufzug zu verlassen (tpo), sind es 1.2 s. Die Nenngeschwindigkeit (v) beträgt 1.6 ms-1; die Nennbeschleunigung (a) beträgt 1 ms-2; der Nennruck (j) beträgt 1 ms-3.

In der Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix des Beispiels (Tabelle 4) ist wie erwartet die Summe der Elemente in jeder Zeile 1, die Diagonale ist null und das untere Dreieck ist null (mit Ausnahme der ersten Spalte). Das PDF und das CDF für jede Zeile werden generiert und verwendet, um eine Zufallsstichprobe durchzuführen, um einen vollständigen Roundtrip zu generieren. Zufallszahlen werden generiert und verwendet, um die Bewegung des Aufzugs im Gebäude wie folgt zu generieren:

  • Zufällig () = 0.244: 0 bis 1
  • Zufällig () = 0.746: 1 bis 3
  • Zufällig () = 0.796: 3 bis 5
  • Von 5 zu 0

Somit wird die gesamte Fahrt 0 zu 1, 1 zu 3, 3 zu 5, dann 5 zu 0. Es ist notwendig, die kinematische Matrix zu finden, um den ersten Term der RTT zu berechnen. Dies stellt die Zeit dar, die der Aufzug benötigt, um zwischen zwei beliebigen Stockwerken zu fahren, beginnend mit Nenngeschwindigkeit, Beschleunigung und Ruck. Diese Zeiten können mit den Gleichungen 16-18 berechnet werden. Diese sind in Tabelle 5 für dieses Gebäude und die kinematischen Parameter seines Aufzugs dargestellt.

Der RTT besteht aus drei Komponenten. Die erste davon ist die Reisezeit:

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-19
(Gleichung 19)

Der zweite Term ist die Türzeit. Dies lässt sich berechnen, indem man die Anzahl der Haltestellen während der Fahrt mit der Türöffnungs- und -schließzeit multipliziert. Die Anzahl der Haltestellen beträgt in diesem Fall vier (Haltestellen bei 0, 1, 3 und 5):

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-20
(Gleichung 20)

Der dritte und letzte Term in der RTT-Gleichung stellt die Ein- und Ausstiegszeit der Passagiere dar und wird mit bezeichnet τP. Dies lässt sich leicht berechnen, indem man die Anzahl der Passagiere mit der Summe der Ein- und Ausstiegszeit pro Passagier multipliziert:

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-21
(Gleichung 21)

Das Hinzufügen aller drei RTT-Begriffe ergibt den ersten Versuch des RTT:

Ableitung-Aufzug-RTT-unter-Eingehenden-Verkehrsbedingungen-und-einer-Einzel-Eingangs-Gleichung-22
(Gleichung 22)

Eine 10,000-malige Wiederholung dieses Vorgangs ergibt einen endgültigen RTT-Wert von 76.3231 s. Der genaue Wert mit der analytischen Gleichung beträgt 76.4031 s.

Fazit

Für die Bewertung des RTT-Wertes mit der MCMC-Methode wurden klare Schritte skizziert. Die Gleichungen zur Entwicklung der Übergangswahrscheinlichkeitsmatrix der Aufzugsbewegungen während einer Rundfahrt wurden abgeleitet. Es wurde ein numerisches praktisches Beispiel gegeben, das die Verwendung der Methode zur Bewertung der RTT für einen Versuch veranschaulicht. Das Verfahren ist besonders leistungsfähig in Fällen, in denen analytische Gleichungen für die speziellen Gebäudebedingungen nicht existieren, beispielsweise wenn die Höchstgeschwindigkeit in einer Stockwerkfahrt nicht erreicht wird und bei ungleichen Stockwerkshöhen.

Referenzen
[1] Lutfi Al-Sharif, Ahmad M. Abu Alqumsan & Osama F. Abdel Aal, „Automatisierte optimale Entwurfsmethodik von Aufzugssystemen mit Regeln und grafischen Methoden (die HARint-Ebene),“ Building Services Engineering Research and Technology, August 2013; vol. 34, 3:S. 275-293 (erstmals veröffentlicht am 12. April 2012).
[2] GC Barney, Elevator Traffic Handbook: Theory and Practice Spon Press, London und New York (2003).
[3] Das Chartered Institute of Building Services Engineers (CIBSE), CIBSE Guide D: Transportation Systems in Buildings, Fourth Edition, (2010).
[4] Lutfi Al-Sharif, Hussam Dahyat & Laith Al-Kurdi, „The Use of Monte Carlo Simulation in the Calculation of the Elevator Round Trip Time under Uppeak Conditions“, Building Services Engineering Research and Technology, Band 33, Ausgabe 3 (2012), p. 319–338.
[5] Lutfi Al-Sharif, Ahmad M. Abu Alqumsan & Rasha Khaleel, „Derivation of a Universal Elevator Round Trip Time Formula under Incoming Traffic“, Building Services Engineering Research and Technology 0143624413481685 (erstmals veröffentlicht am 13. Juni 2013 als doi: 10.1177/0143624413481685).
[6] Hamdy A. Taha, Operations Research: Eine Einführung, Neunte (Internationale) Ausgabe, Pearson (2011).
[7] Richard D. Peters, „Ideale Aufzugskinematik: Ableitung von Formeln für die Bewegungsgleichungen eines Aufzugs“, International Journal of Elevator Engineers, 1996.
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Lutfi Al-Sharif, Hasan Algzawi und Ahmad Hammoudeh

Lutfi Al-Sharif, Hasan Algzawi und Ahmad Hammoudeh

Lutfi Al-Sharif ist außerordentlicher Professor am Department of Mechatronics Engineering der University of Jordan in Amman, Jordanien. Al-Sharif arbeitete neun Jahre lang für London Underground, wo er zuletzt als Zustellleiter für Aufzüge und Fahrtreppen tätig war. Er hat 13 Veröffentlichungen in Fachzeitschriften veröffentlicht und ist Miterfinder von vier Patenten. Er promovierte 1992 in Elevator Traffic Analysis an der University of Manchester in Großbritannien

Hasan Algzawi schloss im Januar 2013 sein Studium der Mechatronik an der University of Jordan ab. Seine Forschungsinteressen umfassen die Verwendung von Markov-Ketten bei der Modellierung technischer Systeme.

Ahmad Hammoudeh arbeitet seit 2012 bei Dar Al Handasah mit Energiesystemen. Er ist Elektro-Konstruktionsingenieur und hat 2012 seinen Bachelor-Abschluss in Elektrotechnik an der University of Jordan gemacht. Seine Forschungsinteressen umfassen die Analyse und Simulation von Aufzugsverkehr.

Aufzugswelt | Januar 2014 Titelbild

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